что описывает уравнение шредингера

Уравнение Шредингера в квантовой физике

что описывает уравнение шредингера

Обновлено: 19 Июля 2021

Уравнение Шредингера имеет большое значение для квантовой механики — наряду со вторым законом Ньютона в классической механике или уравнением Максвелла для изучения природы электромагнитных волн. Закономерности, описанные ученым, объясняют движение частиц, скорость которых существенно меньше, чем скорость света.

Общее уравнение Шредингера — какой имеет вид и зачем нужно

Уравнением Шредингера называют линейное дифференциальное равенство с частными производными, которое описывает изменение в пространстве и во времени чистого состояния посредством волновой функции в гамильтоновых квантовых системах.

Опытным путем можно наблюдать волновые свойства частиц. Определение данного явления является следствием уравнения, которое описывает движение микроскопических частиц в разных силовых полях. Закономерности движения в квантовой механике вытекают из статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Главное уравнение представляет собой формулу относительно волновой функции \(\psi\) (x, y, z,t). Это объясняется тем, что \(\left|\psi \right|\) является определением вероятности присутствия частицы в определенное время t в объеме ΔV, то есть в области со следующими координатами:

Основная закономерность нерелятивистской квантовой механики была представлена в 1926 году Э. Шредингером. Данная формула не является выводом, это — постулат. Справедливость уравнения подтверждается согласием с результатами опыта, что говорит о природном характере выявленной закономерности.

Общее уравнение Шредингера обладает следующим видом:

где ħ равно отношению \(\frac<2\pi >\)

m — является массой частицы,

Δ — оператор Лампаса,

i — представляет собой мнимую единицу,

U(x, y, z, t) — равно потенциальной функции частицы в силовом поле, в котором она движется,

\(\psi\) (x, y, z, t) — служит искомой волновой функцией частицы.

Данная формула справедлива для любых частиц, спин которых равен нулю, движущихся с небольшой скоростью относительно скорости света. Уравнение можно дополнить условиями, характерными для волновой функции:

В первом случае описано уравнение, которое зависит от времени. Многие физические явления, наблюдаемые в микромире, можно охарактеризовать с помощью упрощенной формулы. При исключении зависимости волновой функции от времени можно определить закономерность Шредингера для стационарных состояний, то есть состояний, в которых значения энергии фиксированы. Такие ситуации возможны при стационарном силовом поле, в котором происходит движение частицы. Таким образом, функция U = U (x, y, z) не определяется временем и обладает смыслом потенциальной энергии.

В данном случае уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

\(\Delta \psi +\frac<2m>>\left(E-U \right)\times \psi =0\)

Данная формула получила название уравнения Шредингера для стационарных состояний. Здесь используют полную энергию Е-частицы. Согласно теории дифференциальных уравнений доказано, что имеется бесчисленное множество решений подобных уравнений, которые имеют физический смысл при отборе методом наложения граничных условий. В случае уравнения Шредингера такими условиями являются характеристики регулярности волновых функций:

что описывает уравнение шредингера

Применение уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера не подходит для описания следующих явлений:

Можно рассмотреть применение уравнения Шредингера к свободной частице или электрону, который совершает движение вдоль оси ОХ. При этом величина потенциальной энергии частицы, находящейся в свободном движении, равна нулю. То есть U = 0. Тогда уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

Исходя из гипотезы Бройля, можно смоделировать перемещение такого микроскопического объекта с помощью плоской монохроматической волны, занимающей все пространство:

Волновая функция, характеризующая движение свободной частицы вдоль оси ОХ, бедт записана следующим образом:

где \(\psi _<0>\) является амплитудой волны.

Круговая частота \(\omega\) и волновое число k связаны с полной энергией E и импульсом р следующими закономерностями:

Из данных соотношений следует:

В таком случае волновая функция будет иметь следующий вид:

Продемонстрировать соответствие данного вида функции уравнению Шредингера можно, если определить \(\Delta \psi\) и \(P^<2>\)

Далее необходимо определить \(\frac

\) и определить значение полной энергии Е:

Используя отношение энергии частицы Е к импульсу p, получим формулу:

Подставив данные значения в уравнение, можно вывести следующее равенство:

Данное равенство соответствует уравнению Шредингера, когда U=0. Корректный вид волновой функции можно обосновать для случая движения частицы в силовом поле, в случае, когда потенциальная энергия не равна нулю. Формула будет иметь следующий вид:

Такое уравнение характеризует энергию движения частицы по аналогии с кинетической энергией в классической механике. После подстановки значений Е и Р уравнение приобретает следующий вид:

Конечная формулировка идентична уравнению Шредингера. Данное выражение применимо для частицы, которая совершает движение в силовом поле.

что описывает уравнение шредингера

Пример решения уравнения Шредингера

Задание 1

Электрон движется в одном измерении вдоль оси ОХ между двумя потенциальными барьерами. В случае, если высота барьеров на концах ямы не имеет ограничений, электрон, как и в атоме, совершает финитное движение. Необходимо описать движение в квантовой механике и поведение импульса и энергии частицы.

Решение

Вначале следует изобразить ситуацию схематично

что описывает уравнение шредингера

Согласно условиям задачи, функция U(x) обладает особым, разрывным видом и равна нулю в области между стенками. На краях ямы, то есть на ее барьерах, функция будет бесконечна:

При х=0 и х=l \(U=\propto\)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц, находящихся между барьерами, имеет следующий вид:

Выполняя преобразования в формулах, получим:

К полученной формуле следует прибавить граничные условия на барьерах ямы. Необходимо учесть связь волновой функции и вероятности нахождения частиц. Согласно условиям задания, частица за пределами стенок не находится. В таком случае значение волновой функции на стенках и за их пределами равно нулю. Граничные условия задания будут иметь следующий вид:

При дальнейших действиях нужно учитывать, что решением последней формулы являются волны де-Бройля. Одну волну де-Бройля в качестве решения к задаче не применить, так как с ее помощью заранее описывается свободная частица, движущаяся в одном направлении. В данном случае рассматривается движение частицы между стенками. Поэтому, используя принцип суперпозиции, в решении можно применить две волны де-Бройля, совершающих движение навстречу друг к другу с импульсами р и –р. Формула будет иметь следующий вид:

\(\psi =C_<1>\times exp\left(\fracpx \right)+C_<2>\times exp\left(-\fracpx \right)\)

Исходя из первых граничных условий:

Решение задачи будет иметь следующий вид:

\(\psi =C\times \left(exp\left(\fracpx \right)-exp\left(-\fracpx \right) \right)\)

\(exp\left(\fracpx \right)-exp\left(-\fracpx \right) =2\sin \frac\)

Постоянная А выходит из условий нормировки. В данном случае она не представляет интереса. Необходимо использовать второе граничное условие. Тогда решение можно записать в виде уравнения:

Импульс при этом принимает только определенные значения:

Следует учесть, что n не равно нулю. Это объясняется тем, что в противном случае волновая функция повсюду имела нулевые значения. В этом случае для частицы между стенками состояние покоя не характерно. Электрон обязательно должен совершать движение. Минимальное значение возможного импульса движущейся частицы равен:

Ранее было указано, что импульс электрона изменяет знак во время отражения от барьеров. В этом заключается сложность представления ответа на вопрос, каков импульс у частицы, запертой между стенками. Он может быть равен –р или +р. Импульс не определен. Степень неопределенности будет выражаться в следующем:

Неопределенность координаты Δх равна l. Обнаружить частицу можно в пределах между барьерами. Точное местонахождение электрона неизвестно. Наименьшее значение импульса имеет вид:

Исходя из этого условия, можно вывести равенство:

\(\Delta x\times \Delta p_=h\)

Таким образом, соотношение Гейзенберга в рамках данной задачи, то есть при наличии наименьшего значения р, подтверждено. В случае произвольно-возможного значения импульса соотношение неопределенности приобретает такой вид:

\(\Delta x\times \Delta p_\geq h\)

Согласно исходному постулату Гейзенберга-Бора о неопределенности Δх и Δу, установлена лишь нижняя граница неопределенностей, возможная при измерениях. В начале движения наблюдают минимальные неопределенности, которые возрастают со временем. Полученное уравнение демонстрирует следующее: импульс системы в квантовой механике не всегда изменяется непрерывно. Спектр импульса электрона в данном случае дискретный, импульс частицы между барьерами изменяется скачкообразно. Величина такого скачка при условиях задания является постоянной величиной и определяется как:

Можно изобразить спектр возможных значений импульса электрона. Дискретность изменения механических величин, не применимая к классической механике, в квантовой механике является следствием ее математического аппарата. Невозможно представить наглядное объяснение скачкообразного изменения импульса. Это закон квантовой механики, данный вывод следует из него логически и является объяснением.

что описывает уравнение шредингера

Далее необходимо обратиться к энергии электрона. Данная величина обладает связью с импульсом. В случае дискретного спектра импульса получают дискретный спектр значений энергии частицы между барьерами. Подставив ранее известные формулы в уравнение, получим:

где n = 1, 2,…, представляет собой квантовое число.

Таким образом, получают энергетические уровни.

что описывает уравнение шредингера

На рисунке представлены энергетические уровни, согласно условию задания. Если изменить их, то схема расположения энергетических уровней будет изменена. В случае, когда частица обладает зарядом, как электрон, и расположена на самом низком энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно испускать свет, как фотон. При этом переход на более низкий энергетический уровень возможен с условием:

Для этого задания волновые функции, характерные каждому стационарному состоянию, являются синусоидами. Их нулевые значения будут отмечены на стенках.

что описывает уравнение шредингера

Уравнение Шредингера имеет огромное значение для развития современной науки. Квантовая механика является популярной дисциплиной для изучения в специализированных вузах. Нередко студенты учебных заведений сталкиваются со сложными задачами, решение которых отыскать порой достаточно сложно.

При возникновении трудностей в образовательном процессе получить квалифицированную помощь можно с помощью сервиса Феникс.Хелп.

Источник

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

что описывает уравнение шредингера

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.

Источник

Что описывает уравнение шредингера

что описывает уравнение шредингера

Толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающей движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции что описывает уравнение шредингера, т.к. именно величина что описывает уравнение шредингераосуществляет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами x и что описывает уравнение шредингера, y и что описывает уравнение шредингера, z и что описывает уравнение шредингера. Т.к. искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Шредингером.

что описывает уравнение шредингераШредингерЭрвин(1887–1961) – австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Основные работы в области статистической физики, квантовой теории, квантовой механики, общей теории относительности, биофизики. Разработал теорию движения микрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений – приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоен Нобелевской премии.

Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

Уравнение Шредингера в общем виде записывается так:

где m – масса частицы,i 2 – мнимая единица, что описывает уравнение шредингера– оператор Лапласа что описывает уравнение шредингера что описывает уравнение шредингера– потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ – искомая волновая функция.

Если силовое поле, в котором движется частица, потенциально, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координаты, а другой – только от времени:

Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения 4.4.2, подставьте его в выражение (4.4.1), и вы получите уравнение Шредингера для стационарных состояний:

что описывает уравнение шредингера,

Уравнение Шредингера можно записать в виде что описывает уравнение шредингера.

В этом уравнении что описывает уравнение шредингера– оператор Гамильтона, равный сумме операторов что описывает уравнение шредингера. Гамильтониан является оператором энергии E.

В квантовой механике другим переменным также и динамическим сопоставляются операторы. Соответственно рассматривают операторы координат, импульса, момента импульса и т.д.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *